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我們曉得，數(shù)的運(yùn)算有加、減、乘、除和乘方，多項(xiàng)式的運(yùn)算也包括加、減、乘、除和乘方。其中，多項(xiàng)式的加法運(yùn)算，高中用書中只出現(xiàn)了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算，并沒有出現(xiàn)方程乘以方程的運(yùn)算。這么，到底方程乘以方程該如何進(jìn)行處理呢？

因?yàn)榧臃ㄟ\(yùn)算是加法運(yùn)算的逆運(yùn)算，我們先研究方程減去分式。

一、多項(xiàng)式除以方程

通常的方式如下：

用一個(gè)方程的每一項(xiàng)與除以另一個(gè)方程的每一項(xiàng)，并把所得的積相乘。

如估算（x+2）（x+3）

=x·x-x·3+2·x+2·（-3）=x2-x-6.

這是個(gè)兩個(gè)兩項(xiàng)式的相乘，可以看成類似于兩位數(shù)的除法，列成如下豎式，于是仿造兩位數(shù)除以兩位數(shù)，

兩項(xiàng)與三項(xiàng)的相乘呢？

例1估算：（a+b）（a2-ab+b2），

兩項(xiàng)與三項(xiàng)相加，可以參照兩位數(shù)與三位數(shù)的豎式除法，將三項(xiàng)的寫在前面，如右圖:

因此原式=a3-b3.

當(dāng)被乘式和乘式都按同一字母降冪（或升冪）排列時(shí)，按多位數(shù)除以多位數(shù)進(jìn)行退位和換行，則結(jié)果不同行的多項(xiàng)式剛好處于同列，為合并多項(xiàng)式提供巨大的便捷．

練習(xí)：

（x2-2x-2）（x2+1）

當(dāng)方程有缺項(xiàng)時(shí)，通常要留出空位，以便于多項(xiàng)式才能對(duì)齊．像本題的x2+1缺一次項(xiàng)，列豎式時(shí)留出一次項(xiàng)的空位．

二、多項(xiàng)式乘以方程

方程乘以方程在今天的用書中沒有作要求，并且似乎按照乘法是加法的逆運(yùn)算，可以得出一些簡(jiǎn)略的式子乘以方程的結(jié)果，如（x2-1）÷（x+1）=（x-1）,（x2+6x+9）÷（x+3）=（x+3）,對(duì)于通常的式子乘以方程，結(jié)果和通常的整數(shù)加法一樣，有兩個(gè)結(jié)果：一是有除數(shù)，稱為帶余乘法，即被除式=除式×商+余式，其中余式的最高次高于除式的最高次；二是余式為0時(shí)，我們稱作除式整除被除式。其技巧和整數(shù)加法一樣，可以使用長(zhǎng)減法。

例2估算（x2+9x+20）÷（x+4）

∴（x2+9x+20）÷（x+4）=x+5.

解法方法說明：

（1）先把被除式（x2+9x+20）與除式x+4分別按字母的降冪排列好．

（2）將被除式x2+9x+20的第一項(xiàng)x2乘以除式x+4的第一項(xiàng)x，得x2÷x=x單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，這就是商的第一項(xiàng)．

（3）以商的第一項(xiàng)x與除式x+4相加，得x2+4x，寫在x2+9x+20的下邊．

（4）從x2+9x+20除以x2+4x，得差5x+20，寫在下邊，就是被除式除去x2+4x后的一部份．

（5）再用5x+20的第一項(xiàng)5x乘以除式的第一項(xiàng)x，得5x÷x=5，這是商的第二項(xiàng)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，寫在第一項(xiàng)x的旁邊，寫成代數(shù)和的方式．

（6）以商式的第二項(xiàng)5與除式x+4相加，得5x+20，寫在上述的差5x+20的下邊．

（7）相乘得差0，表示正好能除盡．

（8）寫出運(yùn)算結(jié)果，（x2+9x+20）÷（x+4）=x+5.

方程乘以方程的通常方法：

方程乘以方程通常用豎式進(jìn)行演算

（1）把被除式、除式按某個(gè)字母作降冪排列，并把所缺的項(xiàng)用零補(bǔ)足．

（2）用被除式的第一項(xiàng)驅(qū)除除式的第一項(xiàng)，得商式的第一項(xiàng)．

（3）用商式的第一項(xiàng)去乘除式，把積寫在被除式下邊（多項(xiàng)式對(duì)齊），消掉相等項(xiàng)，把不相等的項(xiàng)結(jié)合上去．

（4）把減得的差當(dāng)成新的被除式，再根據(jù)前面的步驟繼續(xù)演算，直至余式為零或余式的次數(shù)高于除式的次數(shù)時(shí)為止．

被除式=除式×商式+余式

假如一個(gè)方程乘以另一個(gè)方程，余式為零，就說這個(gè)方程能被另一個(gè)方程整除.

方程的乘法實(shí)際上也是對(duì)系數(shù)進(jìn)行了相加減，然后可以考慮使用分離系數(shù)的方法來簡(jiǎn)化乘法運(yùn)算.

例3

手記：

①遇到被除式或除式中缺項(xiàng)，用0補(bǔ)位或空出；

②余式的次數(shù)應(yīng)高于除式的次數(shù)．

另外，以上兩例還可用分離系數(shù)法求解．

從數(shù)的乘除法，到方程與方程的乘除法，其方式上有著千絲萬縷的聯(lián)系，這也說明，從數(shù)到代數(shù)的升級(jí)過程中，算法沒有變化，變化的也是方式，透過現(xiàn)象，看見事物的本質(zhì)，使我們學(xué)習(xí)過程中還要探討和增強(qiáng)的地方。