更新時(shí)間：2021-12-25 17:29:28作者：admin2
今天是3月14日。而圓周率π就約等于3.14，因此這一天被設(shè)為了圓周率日。世界各地的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者們歡聚一堂，歌頌贊美這個(gè)數(shù)學(xué)世界中的奇跡。
大家或許會(huì)好奇，π究竟哪點(diǎn)吸引人了，能夠讓數(shù)學(xué)家們對它癡迷到如此地步？其實(shí)，π本身的存在就是一個(gè)奇跡：不管一個(gè)圓有多大，它的周長和直徑之比總是一個(gè)固定的數(shù)，它就是3.…，是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)。我們把這個(gè)數(shù)就叫做圓周率，用希臘字母π來表示。在幾何問題中，圓周率扮演著非常重要的角色；然而更神奇的是，它也馳騁于幾何以外的其它數(shù)學(xué)領(lǐng)域。
布豐投針實(shí)驗(yàn)
在地板上畫一系列間距為2厘米的平行線，然后把一根長度為1厘米的針扔在地板上。那么，這根針與地板上的線條相交的概率是多少呢？1733年，法國博物學(xué)家布豐（Comte de Buffon）第一次提出了這個(gè)問題。1777年，布豐自己解決了這個(gè)問題——這個(gè)概率值是1/π。
這個(gè)問題可以用微積分直接求解，也能利用期望值的性質(zhì)得到一個(gè)異常精妙的解答。即使我們現(xiàn)在已經(jīng)能輕易求出它的答案，結(jié)論依然相當(dāng)令人吃驚——在這個(gè)概率問題上，竟然也有π的蹤影。有人甚至利用投針法，求出過π的近似值來。
斯特林近似公式
我們把從1開始一直連乘到n的結(jié)果稱作“n的階乘”，在數(shù)學(xué)中用n!來表示。也就是說：
1733年，數(shù)學(xué)家亞伯拉罕?棣莫弗（Abraham de Moivre）發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n很大的時(shí)候，有：
其中c是某個(gè)固定常數(shù)。不過棣莫弗本人并沒有求出這個(gè)常數(shù)的準(zhǔn)確值。幾年后，數(shù)學(xué)家詹姆斯?斯特林（James Stirling）指出，這個(gè)常數(shù)c等于2π的平方根。也就是說：
這個(gè)公式就被稱作斯特林近似公式。
伽馬函數(shù)
階乘運(yùn)算本來是定義在正整數(shù)上的，但我們可以很自然地把它擴(kuò)展到所有的正數(shù)上——只需要尋找一條經(jīng)過所有形如（n, n!）的整格點(diǎn)的曲線就可以了。由此定義出來的函數(shù)就叫做伽馬函數(shù)，用希臘字母Г來表示。好了，神奇的事情出現(xiàn)了。我們有這樣一個(gè)結(jié)論：
π再次出現(xiàn)在了與幾何毫無關(guān)系的場合中！
平方數(shù)的倒數(shù)和的極限
1的平方分之一，加上2的平方分之一，加上3的平方分之一，這樣一直加下去，結(jié)果會(huì)怎樣呢？這是一個(gè)非常吸引人的問題。
從上表中可以看到，越往后加，得數(shù)變化幅度就越小?？梢灶A(yù)料，如果無窮地加下去，得數(shù)將會(huì)無限接近于某一個(gè)固定的數(shù)。這個(gè)數(shù)是多少呢？
1735年，大數(shù)學(xué)家歐拉（Euler）非常漂亮地解決了這一問題。神奇的是，這個(gè)問題的答案里竟然包含有π：
兩個(gè)整數(shù)互質(zhì)的概率
如果兩個(gè)整數(shù)的最大公約數(shù)為1，我們就說這兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)的。例如，9和14就是互質(zhì)的，除了1以外它們沒有其它的公共約數(shù)；9和15就不互質(zhì)，因?yàn)樗鼈冇泄驳募s數(shù)3?？梢宰C明這樣一個(gè)令人吃驚的結(jié)論：任取兩個(gè)整數(shù)，它們互質(zhì)的概率是6/π2，恰好是上面一個(gè)問題的答案的倒數(shù)。在一個(gè)純數(shù)論領(lǐng)域的問題中出現(xiàn)了圓周率，無疑給小小的希臘字母π更添加了幾分神秘。
歐拉恒等式
這是整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域中最偉大，最神奇的公式：
這個(gè)公式用加法、乘法、乘方這三個(gè)最基礎(chǔ)的運(yùn)算，把數(shù)學(xué)中最神奇的三個(gè)常數(shù)（圓周率π、自然底數(shù)e、虛數(shù)單位i）以及最根本的兩個(gè)數(shù)（0和1）聯(lián)系在了一起，沒有任何雜質(zhì)，沒有任何冗余，漂亮到了令人敬畏的地步。這個(gè)等式也是由大數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它就是傳說中的歐拉恒等式（Euler’s identity）?！稊?shù)學(xué)情報(bào)》雜志（The Mathematical Intelligencer）曾舉辦過一次讀者投票活動(dòng)，歐拉恒等式被評選為“史上最美的公式”。
然而，這些也都只是數(shù)學(xué)這個(gè)奇妙大世界的其中一角罷了。
（作者：matrix67）
它不滿足任何整系數(shù)方程，這還不牛逼？所有圓不論大小，其周長和直徑的比恒為Π。這還不牛逼？