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參考書目

數值分析：《數值分析》（第五版）李慶揚等編，清華大學出版社

《常微分方程》一書，由王高雄編著，已出版至第三版，由高等教育出版社出版發行。

數學綜合（數值分析和常微分方程各占1/2）

考試大綱

I.數值分析

1)緒論

誤差的基本概念2024年考研大綱解析，穩定性，收斂性及相容性；

2)插值法

插值多項式的存在性具有唯一性，具體包括拉格朗日插值法、牛頓插值法以及三次樣條插值多項式。

3)函數逼近與計算

最佳一次逼近、最佳平方逼近多項式，曲線擬和的最小二乘法；

4)數值積分

梯形公式、辛普生公式、柯特斯公式以及它們對應的復化求積方法，還有龍貝格公式。

5)方程求根

二分法，一般迭代法2024年考研大綱解析，牛頓迭代法，弦截法，迭代法的收斂性

6)線性方程組的求解方法

高斯主元消去技術，向量與矩陣的模長，矩陣的條件指數，誤差評估，雅可比迭代技術，高斯-塞德爾迭代技術，以及迭代技術的收斂性研究。

7)常微分方程的數值解法

對改進的歐拉公式、龍格-庫塔公式以及二階龍格-庫塔公式的精度進行了詳細分析，同時考察了單步法的收斂性以及穩定性。

II.常微分方程

《常微分方程》作為數學專業的一門基礎課程，同時也是常微分方程學科在近現代發展歷程中的基石。該課程考試內容主要圍繞經典傳統知識展開，同時亦涵蓋穩定性理論領域的關鍵問題。

具體涉及

一階常微分方程的求解方法主要包括：分離變量法、常數變易法以及積分因子法等。

一階常微分方程的解的唯一性和存在性理論，以及其近似計算方法和誤差評估等內容。

高階常微分方程的研究包括常系數微分方程的求解方法，以及非齊次線性微分方程的拉普拉斯變換求解法，還有高階微分方程的降階求解技巧等。

線性常微分方程組的理論包括：線性微分方程組的存在唯一性原理，以及常系數線性微分方程的求解方法等。

非線性常微分方程的穩定性研究，涉及穩定性的基礎理論；分析相平面；探討非線性微分方程組的穩定性以及它們對應的線性近似方程組的穩定性；以及李雅普諾夫第二方法等相關內容。

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