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絕對值三角不等式公式

||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b| 由兩個雙邊不等式組成。

一是||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|。當a、b同向時（若為實數絕對值三角不等式定理，則正數與負數相同），該不等式成立。當a、b異向時（若為實數，則a、b的正數與負數不同），||a|-|b||=|a±b|成立。

另一條是||a|-|b||≤|ab|≤|a|+|b|。該等式的條件和上一條剛好相反。當a、b方向不同（若為實數，則ab的正負數不同）時，|ab|=|a|+|b|成立。當a、b方向相同（若為實數，則ab的正負數相同）時，||a|-|b||=|ab|成立。

三角不等式證明

設ABC為三角形，記為△ABC絕對值三角不等式定理，延長BA至點D，令DA=CA網校頭條，連通DC。

由于 DA=AC，∠ADC=∠ACD（等邊對應等角，《幾何原本》命題 5）

所以∠BCD大于∠ADC（整體大于部分公理）

由于 DCB 是三角形，∠BCD 大于∠BDC，且大角所對的邊較大（大角對應大邊，命題 19）

因此 DB>BC，且 DA=AC

則DB=AB+AD=AB+AC>BC。