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本文我們將回顧一下《電動(dòng)力學(xué)》中矢量勢(shì)的多極展開(kāi)和磁偶極矩的一些性質(zhì)，只是作為回顧。

1.矢量勢(shì)的多極展開(kāi)

我們都知道，在給定電流分布的空間中激發(fā)的磁場(chǎng)矢量勢(shì)為

其中 是源點(diǎn)， 是場(chǎng)點(diǎn)， 是從源點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的距離。 事實(shí)上，無(wú)窮大已被選為矢量勢(shì)的零點(diǎn)。 如果電流分布在一個(gè)較小的區(qū)域，并且場(chǎng)點(diǎn)距離該區(qū)域較遠(yuǎn)，則可以進(jìn)行多極擴(kuò)展。

以區(qū)域內(nèi)某一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，利用展開(kāi)式

磁場(chǎng)矢量勢(shì)的多極展開(kāi)式可得為

矢量勢(shì)的零階展開(kāi)式為

由于恒流的連續(xù)性，可以將電流分成許多個(gè)封閉的流管，那么對(duì)于其中一個(gè)流管，有

流管中流動(dòng)的電流在哪里，所以我們得到

上式的物理意義表明，矢量勢(shì)（磁場(chǎng)）的多極展開(kāi)式不包含磁單極子項(xiàng)，即不包含電場(chǎng)情況下點(diǎn)電荷對(duì)應(yīng)的項(xiàng)。

接下來(lái)我們討論磁場(chǎng)矢量勢(shì)的多極展開(kāi)式的第二項(xiàng)。

出于同樣的原因，由于恒流可以分為許多閉合流管，因此考慮閉合線(xiàn)圈的計(jì)算。 假設(shè)線(xiàn)圈電流為，那么我們有

上式中是一個(gè)固定向量，與積分變量無(wú)關(guān)，而是線(xiàn)圈上點(diǎn)的坐標(biāo)。 因此，通過(guò)全微分得到閉環(huán)周?chē)木€(xiàn)積分等于，即

所以

此時(shí)的表達(dá)式可以改寫(xiě)為

其中，上式中

是電流線(xiàn)圈的磁矩。 對(duì)于一個(gè)小線(xiàn)圈，如果它所包圍的面積元是

那么我們可以得到

對(duì)于一般給定的電流分布空間，我們將其替換為，并得到磁矩為

2. 磁偶極矩的一些性質(zhì)

回想一下上一節(jié)中磁場(chǎng)矢量勢(shì)的多極展開(kāi)式的第二項(xiàng)是

然后我們可以得到磁偶極矩的磁場(chǎng)為

有

因此有

在電流分布以外的空間中，磁場(chǎng)可以用磁標(biāo)量勢(shì)來(lái)描述電動(dòng)力學(xué)郭碩鴻，因此我們可以將上式進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為磁標(biāo)量勢(shì)的梯度形式。 由于是常數(shù)向量，由向量運(yùn)算規(guī)則可知

在上式中，我們利用了無(wú)旋性質(zhì)，即

然后我們得到

其中磁偶極勢(shì)為

電偶極矩產(chǎn)生的電偶極勢(shì)

比較起來(lái)可以看出，磁偶極子電勢(shì)與電偶極子電勢(shì)在形式上是相似的。 在上面的公式中

小電流線(xiàn)圈可以看作是由一對(duì)正負(fù)磁核組成的磁偶極子電動(dòng)力學(xué)郭碩鴻，其磁偶極矩為

經(jīng)證實(shí)，這意味著磁場(chǎng)確實(shí)可以用電流分布區(qū)域外空間的磁標(biāo)量勢(shì)來(lái)描述。

任意電流線(xiàn)圈可以看成是由它所圍成的曲面上的許多小電流線(xiàn)圈的組合，所以它的總磁偶極矩為

式中，是線(xiàn)圈圍成的某個(gè)曲面，但這個(gè)曲面并不是唯一確定的。 其實(shí)并不取決于曲面的選擇，即假設(shè)sum是以線(xiàn)圈為邊界的兩個(gè)曲面，那么sum就成為一個(gè)閉曲面，負(fù)號(hào)表示取法線(xiàn)方向相反，所以我們有

現(xiàn)在

因此，這兩個(gè)表面具有相同的值。 至于更先進(jìn)的磁多極矩，由于實(shí)際中很少使用，所以我們不再詳細(xì)討論。

三、參考資料

(1) 電動(dòng)力學(xué)，郭碩宏著

(2) 經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)，作者：約翰·大衛(wèi)·杰克遜

(3) 電動(dòng)力學(xué)導(dǎo)論，作者：David J.Grimths

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