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7、如圖所示，將大正方形紙沿45°方向剪成五份，距離大正方形的四個(gè)頂點(diǎn)各5厘米。中間部分恰好是一個(gè)小正方形，那么這個(gè)小正方形的面積是___________平方厘米。 8. A點(diǎn)是y軸正半軸上的點(diǎn)。 A 點(diǎn)和 B 點(diǎn)關(guān)于 x 軸對(duì)稱。過A點(diǎn)作直線，與拋物線y=2x^2相交于P、Q兩點(diǎn)。若A點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)襄陽四中自主招生考試數(shù)學(xué)試題-頁2 襄陽四中、五中自主招生考試數(shù)學(xué)試題-第2頁且∠PBQ=60°，則所有滿足條件的直線PQ的解析公式為____________________。 9. 可以使n-1/(n+2009+105)為真的正整數(shù)n值的個(gè)數(shù)等于一個(gè)____________。襄陽四中、五中自主招生考試模擬題 1、選擇題（每題 6 分，共 30 分） 1、若 a、b、c 為正數(shù)且滿足a+b+c=9，則(a/b+b/c+c/a)的值為()A.6B.7C.9D.102。馬云和馬騰各有若干面值為整數(shù)元的人民幣。馬云對(duì)馬騰說：“如果你給我2塊錢，我的錢就是你的n倍。”馬騰對(duì)馬云說：“你給我n塊錢，我的錢就是你的了。” 2次。 》其中n為正整數(shù)，則n的可能取值個(gè)數(shù)為() A.1B.2C.3D.4 襄陽五中自主招生考試數(shù)學(xué)試題-第3頁 襄陽四中數(shù)學(xué)試題五中自主招生考試-第3頁 3、若素?cái)?shù)a、b滿足a-9b-4=0，則數(shù)據(jù)a、b、2的中位數(shù)， 3為()A.4B.7C .4或7D.4.5或6.54 已知(xx-2)=a/(x+a)，則a/(x+a)+a/(x。 +a）+。

+a/(x+2a) 的值為()A.-32B.0C.32D.645。如果四個(gè)互不相等的正實(shí)數(shù)a、b、c滿足(a^2-c^2)(a^2-d^2)=2012，(b^2-c^2)(b^2-d^ 2)=2012，則 (ab)^2-(cd)^2 的值為 ()A.-2012B .- 2011C.2012D.2011 2. 填寫填空（每題5分，共30分） 6.假設(shè)有以下三個(gè)二次方程：x+4ax-4a+3=0, x+(a-1)x+1 +a=0, 2x^2+ 2ax-2a+3=0，至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則a的取值范圍為_______________。襄陽市四中、五中自主招生考試數(shù)學(xué)試題 - 第4頁 襄陽市四中、五中自主招生考試數(shù)學(xué)試題 - 第4頁 7.如圖所示，將大正方形紙剪成五份，分別在距大正方形四個(gè)頂點(diǎn)5厘米處沿45°方向剪開，中間部分就是那個(gè)小正方形。那么小正方形的面積是___________平方厘米。 8. A點(diǎn)是y軸正半軸上的點(diǎn)。 A 點(diǎn)和 B 點(diǎn)關(guān)于 x 軸對(duì)稱。過A點(diǎn)作直線，與拋物線y=2x^2相交于P、Q兩點(diǎn)。若A點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)，且∠PBQ=60°，則所有解析式滿足條件的直線PQ是____________________。 9. 可以使n-1/(n+2009+105)為真的正整數(shù)n值的個(gè)數(shù)等于______________。

D10。如圖所示，在四邊形ABCD中，AB=BC=CD，且∠ABC=78°，∠BCD=162°。假設(shè)AD和BC的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，則∠AEB=？答案：由于AB=BC，所以∠ABC=∠BCA=78°。又因?yàn)镃D=BC，∠BCD=∠CBD=162°。因此，∠AEB=∠ABC+∠BCD=78°+162°=240°。襄陽市四、五中自主招生考試數(shù)學(xué)試題 - 第 5 頁 襄陽市四、五中自主招生考試數(shù)學(xué)試題 - 第 5 頁 11. D 點(diǎn)是點(diǎn)在△ABC的AB邊上，令A(yù)B=3AD，P是△ABC外接圓上的點(diǎn)，且∠ADP=∠ACB。求 PB/PD 的值。答：由于△ABC和△ADP的外角和相等，所以∠PDA=∠CBA。又因?yàn)锳B=3AD，所以BD=2AD。根據(jù)正弦定理：PB/PD=PB/BD×BD/PD=(2sin∠PDA)/(2sin∠ADB)×(sin∠ABD)/(sin∠APD) 由于∠PDA=∠CBA，∠ABD =∠CBD，∠APD=∠ACD，所以： PB/PD=sin∠CBD/sin∠CBA×sin∠CBA/sin∠ACD=s in∠CBD/sin∠ACD 又因?yàn)椤鰽BC與△ACD相似，所以：sin∠CBD/sin∠ACD=BC/ CD=1 襄陽四中獨(dú)立招生考試數(shù)學(xué)題--第6頁 襄陽五中獨(dú)立入學(xué)考試數(shù)學(xué)題--第6頁 因此，PB/PD=1.12。已知x、y、z均為非負(fù)數(shù)，且滿足x=y+z-1=4-y-2z。

1）用x代表y和z； 2）如果u=2x-2y+z，求u的最小值。答：1）將y+z-1代入第二個(gè)方程，可得4-3y-5z=0，即z=(4-3y)/5。將 z 代入第一個(gè)方程，我們得到 x=8 /5-3y/5。因此，可以用x來表示y和z為： x=8/5-3y/5=y+z-1=4-y-2z 化簡(jiǎn)后可得： 8y+15z=122) 將y和z表示為招生考試數(shù)學(xué)題 - 第7頁 將y和z代入u=2x-2y+z，可得： u=4x-8/3 因此襄陽四中網(wǎng)，u的最小值為-8/3，此時(shí)x=1，y=z=0.13。受手機(jī)升級(jí)影響，2月份某手機(jī)店銷售的iPhone價(jià)格較1月份下降了500元。如果銷售同樣數(shù)量的iPhone6手機(jī)，1月份的銷售額為9萬元，2月份的銷售額僅為8萬元。 1) 一月份每部 iPhone 6 的售價(jià)是多少？ 2）為了增加利潤(rùn)，商店計(jì)劃在3月份進(jìn)貨iPhone 6s手機(jī)進(jìn)行銷售。據(jù)了解，每部iPhone 6的進(jìn)貨價(jià)格為3500元，每部iPhone 6s的進(jìn)貨價(jià)格為4000元。預(yù)計(jì)購(gòu)買價(jià)格不超過76000元，不低于7.4萬元，共購(gòu)買了這兩類手機(jī)20部。

有哪些購(gòu)買選擇？ 3）該店計(jì)劃銷售4月份最后一批iPhone 6，并決定按照2月份的銷售價(jià)格，每售出一部iPhone 6向顧客返還1元現(xiàn)金。 iPhone 6s的售價(jià)為4400元。如果我們想讓（2）中的所有計(jì)劃都同樣有利可圖，那么 a 應(yīng)該取什么值？襄陽市第四、五中自主招生考試數(shù)學(xué)試題 - 第 8 頁 襄陽市第四、五中自主招生考試數(shù)學(xué)試題 - 第 8 頁 答案： 1）假設(shè)每部 iPhone 6 手機(jī) 1 月份的售價(jià)為 x 元，那么 2 月份的售價(jià)為 (x-500) 元。假設(shè)一月份的銷售數(shù)量為n，那么二月份的銷售數(shù)量也為n。根據(jù)題意，我們可以得到：nx=90,000，n(x-500)=80,000。解為x=3500元。因此，1月份每部iPhone6手機(jī)的售價(jià)為3500元。 2）假設(shè)購(gòu)買的iPhone6s數(shù)量為m，則購(gòu)買的iPhone6數(shù)量為20-m。根據(jù)題意可得：3500(20-m)+4000m≤，3500(20-m)+4000m≥，解為2≤m≤8，故有7個(gè)購(gòu)買方案。襄陽市四中、五中自主招生考試數(shù)學(xué)試題 - 第9頁 襄陽市四中、五中自主招生考試數(shù)學(xué)試題 - 第9頁 每部iPhone6手機(jī)售價(jià)為y元，每售出一部iPhone6手機(jī)，將退還客戶現(xiàn)金金額為y-4400元。

假設(shè)銷售數(shù)量為k，則：ky=80,000。因此，y=/k。根據(jù)題意可得：3500(20-m)+4000m+500(k-8)=4400k。化簡(jiǎn)得：m=5k/6-10。因此，當(dāng)m=2時(shí)，a=400元。 14、如圖所示，在ABC中，AC=BC，ACB=90°，D、E為AB邊上的兩點(diǎn)，AD=3，BE=4，∠DCE=45°。求△ABC的面積。襄陽市四中、五中自主招生考試數(shù)學(xué)試題 - 第10頁 襄陽市四中、五中自主招生考試數(shù)學(xué)試題 - 第10頁，DE ，則CED是45°-45°-90°三角形，CE=DE。又因?yàn)锳C=BC，所以△ABC是等腰直角三角形，且CAB=45°。因此，△ABC可以分割成兩個(gè)45°-45°-90°的三角形。假設(shè)AC=BC=x，則AD=3，BE=4，所以AE=7-x。根據(jù)勾股定理：x^2+(7-x)^2=16，解為x=3，所以△ABC的面積為6.15。若直線 y=x+3 與 x 軸相交于 A 點(diǎn)，則與 y 軸相交于 B 點(diǎn)。坐標(biāo)原點(diǎn) O 在反比例函數(shù) y=k/x 的圖形上直線的對(duì)稱點(diǎn)O`。 1）求反比例函數(shù)y=k/x的解析公式； 2) 將直線 y=x+3 繞 A 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到的直線與 y 軸相交于 P 點(diǎn)，并通過 P 點(diǎn)畫一條與 x 軸平行的直線，與圖形相交上面在 Q 點(diǎn)處的反比例函數(shù)。

當(dāng)四邊形APQO`的面積為9-33/2時(shí)，求θ的值。答案： 襄陽市四、五中自主招生考試數(shù)學(xué)試題 - 第 11 頁 襄陽市四、五中自主招生考試數(shù)學(xué)試題 - 第 11 頁 O 對(duì)稱點(diǎn)O`關(guān)于直線 y=x+3 位于反比例函數(shù) y= k/x 的圖上，所以 O`也在直線上y=x+3。因此，O`的坐標(biāo)為(-3,-3)。由于O`在反比例函數(shù)圖上，所以有：k/(-3)=(-3)k/O`(-3)=9。解為k=-27，因此反比例函數(shù)的解析公式為y=-27/x。 2）由于直線y=x+3經(jīng)過A點(diǎn)，故其解析公式為y=x+3。直線繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的直線斜率為-1/tan(θ)，解析公式為y=-x/tan(θ)+P，其中P為y軸截距。因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)P(0,P)，所以P=-3/tan(θ)+3。將直線與反比例函數(shù)相交，得到方程：x/tan(θ)+P=-27/x 化簡(jiǎn)得到：x^2-27tan(θ)x-3x=0 襄陽五中自主招生考試數(shù)學(xué)試題--第12頁 襄陽四中、五中自主招生考試數(shù)學(xué)試題--第12頁 因?yàn)锳PQ類似于△AO`Q，故：PQ/O`Q=AP/AO`=x/3 因此，有： 9-33/2=(1/2)(AP ×O`Q)=x(3-x /27tan(θ)) 代入 x 的解，得：9-33/2=27tan(θ)/2±√(729tan^2(θ)/4+12tan(θ))。解為θ≈22.5°。

襄陽市四中、五中自主招生考試數(shù)學(xué)試題 - 第13頁 襄陽市四中、五中自主招生考試數(shù)學(xué)試題 - 第13頁 方程x (m-1)x-3(3m-1)x+18= 0 有兩個(gè)正整數(shù)根（m 為整數(shù)）。 ABC的三邊a、b、c滿足c=23、m+a(m-8a)=22、m+b(m-8b)=18。 1）求m的值； 2）求△ABC的面積。答：1）假設(shè)方程的兩個(gè)正整數(shù)根為p和q，則：m-1)p-3(3m-1)q+18=0m-1)q-3(3m-1)p +18=0 將第一個(gè)方程乘以3，第二個(gè)方程乘以-1，然后相加得到： 10mp-80m+130=0 化簡(jiǎn)得：襄陽市四中、五中自主招生考試數(shù)學(xué)試題-第14頁 襄陽市四中、五中自主招生考試數(shù)學(xué)試題-第14頁b 都是正整數(shù)，因此 p 和 q 都是方程的正整數(shù)根。根據(jù)吠陀定理，我們可以得到： a+b+c=2p+3q=23+2m 代入 m=8-13/p 得到： 2p+3q=57-26/p 因?yàn)?a 和 b 都是正整數(shù)，因此 p 、 q 均為正整數(shù)。因此，只有兩種情況：p=1，q=17或p=17，q=1。

當(dāng)p=1，q=17時(shí)，有：a+b+c=2p+3q=57。解為a=18，b=21。當(dāng)p=17，q=1時(shí)，有：a+b+c=2p+3q=23 襄陽四中、五中自主招生考試數(shù)學(xué)試題 - 第15頁數(shù)學(xué)試題襄陽四中、五中自主招生考試第15頁無解。因此， m=8-13/p=8-13=-5 或 m=8-13/p=8-1/13=7/13。因?yàn)閙是整數(shù)，所以m=-5.2) 改變m=- 5 代入m+a(m-8a)=22，m+b(m-8b)=18，我們得到a=2，b=3。根據(jù)余弦定理：c^2=a^2+b^2- 2abcos∠C=13 因此，△ABC 是等腰三角形，∠C=90°。因此，△ABC的面積為(1/2)ab=3。如圖所示，△ABC是等腰三角形，AP是底BC上的高，D點(diǎn)是線段PC上的一點(diǎn)，BE和CF分別是△ABD和△ACD的外接圓的直徑，連接 EF。需要證明tan∠PAD=EF/BC。首先，根據(jù)△ABD和△ACD的外接圓的性質(zhì)可知，∠BAE=90°襄陽四中網(wǎng)，∠CAF=90°。又因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形，所以∠BAC=90°。因此，三角形AEF和ABC的角都是90°貝語網(wǎng)校，且EF與BC平行，因此它們相似。

襄陽市四、五中自主招生考試數(shù)學(xué)試題 - 第16頁 襄陽市四、五中自主招生考試數(shù)學(xué)試題 - 第16頁 接下來我們計(jì)算tan∠ PAD 和 EF/BC。根據(jù)正弦定理，可得： tan∠PAD=AP/ADEF/BC=EF/2AP 因?yàn)?AD=AP+PD，所以： tan∠PAD=AP/(AP+PD) 將 EF/BC 和 tan∠ 代入將PAD代入證明 式中，我們得到：tan∠PAD=EF/BC，這就完成了證明。襄陽市四中、五中自主招生考試數(shù)學(xué)試題 - 第17頁 襄陽市四中、五中自主招生考試數(shù)學(xué)試題 - 第17頁