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更多內(nèi)容，敬請(qǐng)關(guān)注：如圖一所示,微分是求函數(shù)圖形上一點(diǎn)切線的斜率。

而當(dāng)初,積分則是求函數(shù)圖形下方,軸頂部之間的面積,如圖二所示,陰影部份代表介于,,軸和函數(shù)圖形之間的面積(注一)。在圖一的情形,求一條直線的斜率,還要曉得兩點(diǎn),所以作法是在圖形上不僅點(diǎn)此外,另在附近取一點(diǎn),如圖三所示(注二)。

先求線的斜率

之后再令趨近于,將所得的極限定為切線的斜率。式(1)一方面是圖一中割線的斜率,另一方面式(1)也代表當(dāng)變動(dòng)到時(shí),的平均變率(averagerateofchange),而當(dāng)初,式(1)的極限便是在點(diǎn)的頓時(shí)變率(Instantaneousrateofchangeat)。平均或是頓時(shí)變率的衡量可以針對(duì)任意的函數(shù),即便才能把握在的極限便可以從反求,這正是牛頓曾經(jīng)發(fā)覺微積分基本定律的發(fā)力點(diǎn)。牛頓首先將圖二改成圖四(注三)。

圖四圖四是連續(xù)函數(shù)的圖形從到這一段與軸之間的面積,在這一點(diǎn),函數(shù)是高度,面積以函數(shù)表示。牛頓的看法是求面積函數(shù)在點(diǎn)的頓時(shí)變率。欲求的頓時(shí)變率,應(yīng)當(dāng)先求平均變率,所以牛頓考慮下邊的圖五(并見注三)。當(dāng)變化到時(shí),從到的面積是而就是圖一中在底部的面積,所以平均變率等于。假如函數(shù)在上是常數(shù)的話,則這塊面積是一個(gè)以為高度的長圓形,如圖六所示：

在圖六的情形,不論的大小,都等于長圓形面積的高,令,自然得到對(duì)的頓時(shí)變率是此長圓形的高,即。通常而言面積這一塊并非長圓形而是形如圖七：

圖七在圖七中,令和分別是函數(shù)在上的最大值和最小值,則似乎有(注四)當(dāng)初,和就會(huì)趨近,所以也會(huì)趨近,因而對(duì)的頓時(shí)變率是,或則說。這就是當(dāng)初牛頓發(fā)覺的微積分基本定律(注五)。依據(jù)此一定理,我們有下述推論：如圖二所示,令滿足,則圖一中的面積等于。成因是,由于如圖四,,倘若也等于,則,是一個(gè)常數(shù)(注六)。圖一中的面積等于,留意到,但是滿足微分是的函數(shù)并不惟一,并且由于這種“反微分”彼此只差一個(gè)常數(shù),在估算時(shí),所差的常數(shù)自然會(huì)對(duì)消,所以并不重要(注七)。以下,我們補(bǔ)充當(dāng)不一定恒正時(shí)圖一中的面積函數(shù)應(yīng)當(dāng)怎樣定義。如圖八,當(dāng)在某一區(qū)段大于0時(shí),從到,陰影部分的面積若是乘以,得到的“高度”是正的,而非(此處),所以一個(gè)合理的面積函數(shù)在圖一中應(yīng)當(dāng)計(jì)以負(fù)值,這么,而也大于0,使得當(dāng)初,會(huì)趨近于,也大于0。

圖八這么一來,只要將時(shí)的“面積”計(jì)以負(fù)值,則微積分基本定律仍舊設(shè)立,如圖九

圖九函數(shù)有正有負(fù),那時(shí)陰影部份面積以正計(jì)之,而時(shí)陰影部份面積以負(fù)計(jì)之,則總面積依然會(huì)等于,是的反微分(注八)。換句話說,只要將的部分,面積以負(fù)計(jì),則微積分基本定律仍舊設(shè)立(運(yùn)用的任一個(gè)反微分,圖九的陰影部分“面積”皆等于)。讀者不妨試試下邊這個(gè)函數(shù),其在這一段的“面積”計(jì)算。

圖十若以反微分代1和-1相乘，

恰是圖一中陰影部份面積取減號(hào)。其實(shí),微分是求函數(shù)圖形切線的斜率,積分是求圖形與軸之間的“面積”,這面積兩字還要打一冒號(hào)，來說明“面積”是要考慮正負(fù)的。惟有這么,微積分基本定律就會(huì)廣泛的創(chuàng)立。因而,或許如注八,得到“面積”為0時(shí),緣由不過是正的面積和負(fù)的面積對(duì)消,一點(diǎn)也不奇怪。注一：,從而處理函數(shù)圖形與軸之間的面積，今后，那時(shí),會(huì)引入“負(fù)的面積”的概念。并見注八。注二：代表一個(gè)微小的量，可正可負(fù)，雖然不能等于0高中微積分公式，本文為了便于說明，均小于0。注三：莫里斯?克萊因著古今英語思想(MorrisKline，MathematicalThoughtFromeAncienttoModernTimes)中譯著第69頁再現(xiàn)了牛頓所畫的圖

圖中的記號(hào)"0"相當(dāng)于今天的。注四：在閉區(qū)間上有最大值和最小值，使得當(dāng)初,最大和最小值均趨近。注五：通常覺得萊布尼茲亦獨(dú)立發(fā)覺此定律。注六：的函數(shù)也稱是的反微分或反導(dǎo)函數(shù)，的所有反微分互相只差一個(gè)常數(shù)，圖一中的面積函數(shù)是的一個(gè)非常的反微分，它滿足。注七：方程的反微分是，是任意常數(shù)。三角函數(shù)的反微分是,是任意常數(shù)。下邊二個(gè)函數(shù)圖形陰影部分的面積分別是和。

注八：簡言之，若面積在軸底部以正計(jì)高中微積分公式，在軸下方以負(fù)計(jì)，則“面積”仍然等于。式中是函數(shù)的反微分。以為例,右圖的面積0。此刻若取,則亦等于0。