（每日一題）那該怎么辦的本質和就是的區別
更新時間：2023-02-28 14:07:26作者：佚名
一
微積分的本質是哪些？我給自己設定的要求是本段沒有一個公式，但是學生都能聽得懂。
求一個直角三角形的高，可以通過底長和傾角來推斷，但若果三角形是一個曲邊的呢？再用加角和斜邊兒推測都會形成巨大的偏差。
那該如何辦呢？不妨曲邊三角形分成三段，產生三個紅色直角三角形的，再通過他們傾角和底長推斷數三個小高度，這三個小高度就稱作“微分”。
之后，將這三個微分累積上去，就稱作“積分”，這個積分就是我們所求的曲邊三角形的高度。
問題來了，這三個紅色直角三角形的高度，雖然是高于實際高度的，會有一個黑色的小偏差。
怎樣將這個偏差清除呢？假如分成更多段，產生更多的白色直角三角形，這么這個綠色的偏差都會迅速縮小。
假如分成無窮多段，產生無窮多個紅色直角三角形，那這個綠色的小偏差都會消失。
因此說微積分的本質就是：通過無窮小來求總和。
這算不算史上最容易理解的微積分掃盲？
二
微積分的籌謀是在17世紀上半葉到17世紀末這半個世紀。
1608年伽利略第一架望遠鏡的制成，除了造成了人們對天文學研究的高潮，并且還促進了光學的研究。
開普勒通過觀測歸納出三條星體運動定理：
（1）星體運動的軌道是拋物線的，太陽坐落該拋物線的一個焦點上。
（2）由太陽到星體的焦直徑在相等的時間內掃過的面積相等。
（3）星體繞太陽公轉周期的平方，與其拋物線軌道的半長軸的立方成反比。
最后一條定理是在1619年發布的，而從物理上的推證開普勒的經驗定理，成為那時自然科學的中心課題之一。1638年伽利略《關于兩門新科學的對話》出版，為動力學夯實了基礎，促使人們開始對動力學概念與定律做出準確的物理描述。望遠鏡的光程設計須要確定透鏡曲面上任一點的法線和求曲線的切線，而火炮的最大射速和求星體的軌道的近期點、遠日點等牽涉函數最大值、最小值等問題；而求曲線所圍成的面積、曲線長、重心和引力估算也迸發了人們的興趣。
在17世紀中葉，幾乎所有的科學前輩都旨在于未解決這種窘境而尋找一種新的物理工具。正是為解決很多疑難問題，一門新的學科——微積分應運而生。
微積分的成立，歸納為處理以下幾類問題：
（1）已知質點運動的路程和時間的關系高中微積分公式，求質點在任意時刻的速率和加快度；反之，已知加快度與速率，求任意時刻速率和路程。
（2）求曲線的切線，這是純幾何問題，但對科學應用具備重大意義，如透鏡的設計、運動質點在運動軌跡上任一點的運動方向（即該點切線方向）等。
（3）求函數最大值、最小值，上面提及彈道射速問題、近日點、遠日點等問題都屬于這一類問題。
（4）求積問題，包括求曲線長、曲線所圍面積、曲面所圍容積等。
而這種問題的解決，原有的早已無能為力了，只有當變量引入英語，能描述運動過程的物理新工具——微積分的成立后，這種窘境才得以解決。其中最重要的是速率和距離以及曲線的切線和曲線下的面積這兩類問題。正是為了解決這兩類問題，才有了牛頓和萊布尼茨各自獨自創立了微積分。
三
說到微積分，我認為這是我們接近世界本質，所邁出的第一步。
為何這樣說呢？由于，假若物理還逗留在算個橫平豎直、矩形三角的面積的話，這么離應用真的是差太遠了。
英語是哪些？
一個工具，假如說化學是在探究這個世界的一些規律和原理的話，這么英語就是數學的語言。
如若沒有微積分，這個語言就幾乎喪失了價值。這個世界似乎沒有這么多棱角，連隨意一塊石頭，都有風、水和時光的侵蝕，來把棱角拋光。這么微積分就是打開了通向這個“圓滑”的世界的正門；除此此外高中微積分公式，這個世界還是多變的，即使說“你不或許進入同一條支流兩次”這樣的觀點太唯心，而且正是那樣的思想告訴了我們一個道理：
這個世界變化太快。
而微積分給了我們去跟上變化的資本。
萬變不離其宗，你如何變，我都可以去積分積下來。
用文學的視角看：
積分是見到了量變形成的質變。
微分是放大非但的變化，讓你不被任何一個“平滑掉”的數據，欺騙眼睛。
微積分，讓我們有或許認清世界。
四
微分和積分的本質應當合上去講，才有或許淺顯易懂；要是分開來講，反倒變具象了。
我們不妨以事物在時間中形成變化為例。積分相當然后指事物經歷時間后形成的總變化量，微分則相當于指事物在每一個一瞬的微小變化量。因而，積分其實是由微分累積而成的。因此這個道理原來也是一個十分簡略的常識，可以歸納為一句話：
一段時間的總變化量，是由這段時間中的每位一瞬的變化量累積而成的！
這是不是簡略到跟屁話沒有區別？的確就是這樣簡略。
我們將總變化量切分成一份一份（由時間來評判的話，就是一霎那一霎那）的變化量的過程稱作微分；而將一份一份的變化量累積出總變化量的過程稱作積分。
我們要非常留意到，這兒有一個難點：
然而，我們就應當能找到方法來估算每一份微分，于是能通過微分來估算積分。這就是微積分所要完成的總任務。
微積分的本質，事實上徹底展現在一個英語公式，被稱為“微積分基本定律”，又稱為“牛頓-萊布尼茲公式”：
這個公式假如才能理解的話，也許就等于徹底理解了微積分思想的全部。剩下的就僅僅對微分與積分規則的技術性把握了。倘若是談本質，我們這兒就不談技術性問題了。
這個公式牽涉到兩個函數，一個是f(x)，一個是F(x)。至于哪些是函數，不懂的話得自己去自學，雖然這屬于初小學的知識，否則得淺顯到從學校講起了。
在這個公式中，F(x)可稱為f(x)的一個原函數或則不定積分。F(x)在x點上的變化量，也即在x點時的微分，我們標記為dF(x)；它是在x點的變化率也即f(x)與該點發生的微小變化量dx的相乘，也即dF(x)＝f(x)dx。因此f(x)＝dF(x)/dx，所以f(x)又稱為F(x)的行列式函數。
假定有一個事物在運動，我們不妨將函數f(x)理解為記錄該事物的速率關于時間的函數，而將F(x)理解為該事物的位移關于時間的函數。然后dF(x)＝f(x)dx的意思也許是指x剎當時的微小位移量，等于x剎當時的速度與該剎當時間的相乘。
假如初始時刻是a，而末了時刻是b，則時間的自變量x就從a變化到了b。然后F(b)－F(a)雖然就是指從時刻a到時刻b，事物的位移量，也即f(x)在這個時間段的定積分。它是如何估算下來的呢？它是從時刻a到時刻b的每一份微小位移（微分）累積而成的總位移量(積分)。
明白了上述道理后，我們會發覺，假如我們把握了估算微分以及積分的基本規則，我們也就有方法估算變化率不均勻事物在運動變化中的頓時變化率(值域)，頓時變化量(微分）以及積累的總變化量(積分）的根本方法。這似乎就格外對應現實世界了。
END
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