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1.適用條件

【一條直線通過一個焦點】奇函數(shù)f0一定等于0嗎，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A是直線與焦點所在軸線的夾角，為銳角。x是分離比，必定大于1。

注：以上公式適用于所有圓錐曲線。若焦點在內(nèi)（即焦點在它所截的線段上），則用此公式；若焦點在外（即焦點在它所截的線段的延長線上），則右邊為(x+1)/(x-1)，其余不變。

2.函數(shù)周期問題（記住三點）

（1）若f（x）=-f（x+k），則T=2k；

（2）若f（x）=m/（x+k）（m不為0），則T=2k；

（3）如果 f(x)=f(x+k)+f(xk)，則 T=6k。

注意事項：a. 對于周期函數(shù)，周期必須是無限的。b. 周期函數(shù)可能沒有最小周期，比如常數(shù)函數(shù)。c. 周期函數(shù)加周期函數(shù)可能不是周期函數(shù)，比如：y = sinxy = sinx加x不是周期函數(shù)。

3.關(guān)于對稱性問題（無數(shù)人不明白的問題），總結(jié)如下

（1）若在 R 上（下同），f(a+x)=f(bx)恒成立，則對稱軸為 x=(a+b)/2

（2）函數(shù) y = f (a + x) 和 y = f (bx) 的圖形關(guān)于 x = (ba)/2 對稱；

（3）如果 f(a+x)+f(ax)=2b，則 f(x) 的圖形關(guān)于中心 (a, b) 對稱。

4. 函數(shù)奇偶校驗

（1）對于 R 上的奇函數(shù)，f(0)=0；

（2）對于有參數(shù)的函數(shù)，奇函數(shù)沒有偶數(shù)階項，偶函數(shù)沒有奇數(shù)階項

（3）奇偶校驗用處不大，一般用于多項選擇題的填寫。

5.數(shù)列爆發(fā)力規(guī)律

（1）在等差數(shù)列中：Sod=na，例如S13=13a7（13和7為下標(biāo)）；

（2）在等差數(shù)列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)構(gòu)成等差數(shù)列。

（3）在等比數(shù)列中，當(dāng)公比不為負1時，上述兩項是等比的，但當(dāng)q=-1時，這可能不成立。

（4）等比數(shù)列爆炸公式：

S(n+m)=S(m)+q2mS(n)可以快速找到q

6. 數(shù)列的終極武器，特征根方程

首先介紹一下公式：對于an+1=pan+q（n+1為下標(biāo)，n為下標(biāo)），

如果已知a1，則特征根x=q/(1-p)，則級數(shù)的通式為an=(a1-x)p2(n-1)+x，這是一階特征根方程的應(yīng)用。

第二階有點復(fù)雜，不常用。所以我就不詳細講了。希望大家記住上面的公式。當(dāng)然，這種序列也可以構(gòu)造（同時在兩邊添加數(shù)字）

7.附加功能說明

（1）復(fù)合函數(shù)的奇偶性：內(nèi)部為偶函數(shù)，為偶函數(shù)；內(nèi)部為奇函數(shù)，為奇函數(shù)；外部為偶函數(shù)，為偶函數(shù)。

（2）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：增加相同，減少不同

（3）三次函數(shù)重點知識：恐怕很多人不知道，三次函數(shù)曲線其實是一種中心對稱圖形。

它有一個對稱中心，方法是求二階導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)為0，根x為中心橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)可代入原函數(shù)定義，此外一定有一條唯一直線通過中心，且與兩邊相切。

8.常用數(shù)列bn=n×(22n)和Sn=(n-1)×(22(n+1))+2記憶法

前面減1，后面加1，最后加上2。

9. 適用于標(biāo)準(zhǔn)方程的爆炸強度公式（重點關(guān)注x軸）

k 橢圓=-{(b2)xo｝/{(a2)yo｝k 雙={(b2)xo｝/{(a2)yo｝k 拋=p/yo

注意：（xo，yo）是通過圓錐曲線的直線所截取的線段的中點。

10. 強烈推薦一個使兩條直線垂直或平行的特殊技巧

給定直線 L1：a1x+b1y+c1=0 直線 L2：a2x+b2y+c2=0

如果它們垂直：（必要充分條件）a1a2+b1b2=0；

如果它們平行：（必要充分條件）a1b2=a2b1且a1c2≠a2c1

（這個條件是為了防止兩條直線重合）

注意：以上兩個公式避免了斜率是否存在的困擾，是必殺技！

11. 經(jīng)典中的經(jīng)典

我相信大家都知道相鄰項會互相抵消。

我們來看看替代條款的取消：

為了

Sn=1/(1×3)+1/(2×4)+1/(3×5)+…+1/[n(n+2)]=1/2[1+1/2-1 /(n+1)-1/(n+2)]

注意：每隔一項添加一次，保留四項，即前兩項和后兩項。自己在草稿紙上寫下公式，會顯得干凈整潔！

12.爆炸強度面積增量公式

S=1/2|mq-np|其中向量 AB=(m,n)，向量 BC=(p,q)

注：此公式可以解決已知三個點求三角形面積的問題

13.你知道嗎？空間立體幾何中：下列命題都是錯誤的

（1）空間中三個不同的點確定一個平面

（2）垂直于同一條直線的兩條直線平行

（3）有兩對邊相等的四邊形是平行四邊形

（4）如果一條直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線垂直，那么這條直線垂直于該平面。

(5) 棱柱是具有兩個平行面，其余面為平行四邊形的幾何立體。

（6）一個面為多邊形，其他面均為三角形的幾何立體體是金字塔。

注：不適用于初中生。

14. 一點知識

所有邊長度相等的金字塔可以是三面金字塔、四面金字塔或五面金字塔。

15. 求 f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|xn| 的最小值（n 為正整數(shù)）

答案是：當(dāng)n為奇數(shù)時，最小值為(n2-1)/4，即當(dāng)x=(n+1)/2時所得；

當(dāng) n 為偶數(shù)時，最小值為 n2/4，即 x=n/2 或 n/2+1 時所得值。

16.

√〔(a2+b2)〕/2≥(a+b)/2≥√ab≥2ab/(a+b)(a、b均為正數(shù)，且定義域相同)

17.橢圓焦點三角形的面積公式

S = b2tan(A/2) 在雙曲線中：S = b2/tan(A/2)

注：適用于焦點在 x 軸上的標(biāo)準(zhǔn)圓錐曲線。A 是兩個焦點半徑之間的角度。

18.爆炸定理

三個空間向量公式可以解決所有問題：cosA=|{向量 a.向量 b}/[向量 a 的模數(shù) × 向量 b 的模數(shù)]

（1）A 是線與線之間的角度

（2）A 為線與面的夾角（但公式中 cos 被 sin 代替）

（3）A 為面間夾角。注：以上夾角范圍為[0, pie/2]。

19. 爆發(fā)力公式

12+22+32+…+n2=1/6(n)(n+1)(2n+1)；123+223+323+…+n23=1/4(n2)(n+1)2

20.爆炸強度切線方程的記憶方法

寫成對稱形式，改變 x，改變 y

例如：y2=2px 可以寫成 y×y=px+px

將 (xo, yo) 代入其中一個，我們得到：y×yo=pxo+px

21.爆炸定理

(a+b+c)2n 展開式的項數(shù) [合并后] 為：Cn+22，n+2 在底部，2 在頂部

22.轉(zhuǎn)變思維

切線長度l=√(d2-r2)d表示圓外某點到圓心的距離，r為圓的半徑，d為圓心到直線的最小距離。

23. 對于 y2=2px

通過焦點的兩條垂直弦AB、CD的和至少為8p。

爆炸定理的證明：對于 y2=2px，讓通過焦點的弦的傾斜角為 A

則弦長可表示為2p/〔(sinA)2〕，因此垂直于它的弦長為2p/[(cosA)2]

因此可以根據(jù)三角知識找到總和。

（題目的意思是，弦AB過焦點，CD過焦點，AB垂直于CD）

24. 一個重要的絕對值不等式的介紹

∣|a|-|b|∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣

25. ln不等式證明問題的思路

例子：證明 1+1/2+1/3+…+1/n>ln(n+1)

將左側(cè)視為 1/n 的總和，將右側(cè)視為 Sn。

解開：

令 an = 1/n貝語網(wǎng)校，令 Sn = ln(n+1)，則 bn = ln(n+1)-lnn，

那么我們只要證明an>bn，并根據(jù)定積分的知識畫出y=1/x的圖形就可以了。

an=1×1/n=矩形面積>曲線下面積=bn。當(dāng)然，我們先要證明1>ln2。

注：僅供有能力的同學(xué)參考?。×硗獯朔椒梢酝茝V，就是把左右兩邊看成一個級數(shù)的和，就可以驗證面積了。注：前提是含有l(wèi)n。

26. 爆發(fā)力的簡單公式

向量 a 在向量 b 上的投影是：[向量 a × 向量 b 的標(biāo)量積]/[向量 b 的范數(shù)]。

記憶方法：哪里投影，用哪里除以

27.解釋一個容易犯錯的點

若f(x+a)[任意a]為奇函數(shù)，則結(jié)論為f(x+a)=-f(-x+a)〔等式右邊不為-f(-xa)〕

類似地，如果 f(x+a) 是偶函數(shù)，我們可以得到 f(x+a)=f(-x+a)。記住

28.偏心爆炸強度公式

e=sinA/(sinM+sinN)

注：P為橢圓上的一點，A為角F1PF2，兩個邊角分別為M和N

29、橢圓的參數(shù)方程也是一個很好的東西，可以解決一些極值問題。

例如x2/4+y2=1，求z=x+y的最大值。

解決方案：讓 x = 2cosay = sina，然后使用有界三角形。這比轉(zhuǎn)到 = 0 要快很多倍！

30.爆發(fā)力公式僅供有能力的朋友參考

和與差積

sinθ+sinΦ=2sin[(θ+Φ)/2]cos[(θ-Φ)/2]sinθ-sinΦ=2cos[(θ+Φ)/2]sin[(θ-Φ)/2]cosθ+ cosΦ=2cos[(θ+Φ)/2]cos[(θ-Φ)/2]cosθ-cosΦ=-2sin[(θ+Φ)/2]sin[(θ-Φ)/2]

產(chǎn)品與差異

sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α- β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

31.爆炸定理

直觀圖形的面積是原圖形的√2/4倍。

32.三角形垂心爆炸定理

（1）向量 OH = 向量 OA + 向量 OB + 向量 OC （O 為三角形的外心，H 為三角形的垂心）

（2）如果三角形的三個頂點在函數(shù)y=1/x的圖形上，那么它的垂心也在這個函數(shù)的圖形上。

33.維維亞尼定理

等邊三角形內(nèi)部（或邊界上）任一點到三邊的距離之和是一個常數(shù)，等于三角形的高。

34.爆炸性思維

如果兩個根的乘積 x1x2=m，則兩個根的和 x1+x2=n

我們應(yīng)該形成一個想法，那就是回去構(gòu)造一個二次函數(shù)

然后利用大于等于0的△就可以得到m和n的范圍。

35. 共同結(jié)論

過 (2p, 0) 的直線與拋物線 y2=2px 在點 A 和 B 相交。

O為原點奇函數(shù)f0一定等于0嗎，連接AO.BO。必有一個角AOB=90度

36. 爆發(fā)力公式

ln(x+1)≤x(x>-1)這個公式可以有效地解決不等式的證明問題。

例如：ln(1/(22)+1)+ln(1/(32)+1)+…+ln(1/(n2)+1)

證明如下：設(shè) x = 1/(n2)，根據(jù) ln(x+1)≤x，左右兩邊可累加，右邊為

然后將其放大：左和

37.函數(shù) y=(sinx)/x 是偶函數(shù)

它在 (0, pie) 上單調(diào)遞減，在 (-pie, 0) 上單調(diào)遞增。

上述屬性可用于比較大小。

38. 函數(shù)

y=(lnx)/x 在 (0, e) 上單調(diào)增加，在 (e, +infinity) 上單調(diào)減少。

此外，y=x2(1/x)與函數(shù)的單調(diào)性一致。

39. 數(shù)學(xué)中常見的幾個錯誤

（1）f`（x）

（2）在研究函數(shù)奇偶性時，我們忽略了第一步也是最重要的一步：考慮定義域是否關(guān)于原點對稱。

（3）應(yīng)用不等式時，必須考慮“=”符號是否

(4) 研究序列問題時，一般不考慮子項，也就是說，有時首項并不符合通式，所以，在研究序列問題時，要特別注意是否需要子項化！

40.提升計算能力的五個步驟

（1）扔掉你的計算器

（2）認真看題（建議慢慢看題，快速做題），如果不認真看題，算得再多也是白算。

（3）記住常見數(shù)據(jù)，掌握一些快速計算的技巧

（4）加強心算和估算能力

（5）檢查

41. 絕妙的配方

已知三角形AB=a，AC=b，O為三角形的外心。

則向量AO×向量BC（即標(biāo)量積）=（1/2）[b2-a2]

證明：通過 O 畫一條垂直線 BC，并將其變換為已知邊

42. 功能

① 函數(shù)單調(diào)性的意義：大部分同學(xué)都知道，如果一個函數(shù)在區(qū)間D上是單調(diào)的，那么函數(shù)值隨著自變量的增大（減?。┒龃螅p?。?，但有的同學(xué)可能不理解。顯然，如果一個函數(shù)在D上是單調(diào)的，那么它一定是連續(xù)的（分段函數(shù)另當(dāng)別論）。這也解釋了為什么我們不能說y=tanx在定義域上是單調(diào)遞增的，因為它的圖形被無窮漸近線擋住了，換句話說，是不連續(xù)的。還有，如果函數(shù)在D上是單調(diào)的，那么該函數(shù)在D上y和x之間存在一一對應(yīng)關(guān)系。這可以用來解一些方程。

② 函數(shù)周期性：這里主要總結(jié)一些函數(shù)方程表達的周期性。設(shè)f(x)是R上的函數(shù)。對任意x∈R

（1）f（a±x）=f（b±x）T=（ba）（加絕對值，下同）

（2）f（a±x）=-f（b±x）T=2（ba）

（3）f（xa）+f（x+a）=f（x）T=6a

（4）設(shè)T≠0，則f（x+T）=M[f（x）]，其中M（x）滿足M[M（x）]=x且M（x）≠x。則函數(shù)的周期為對于2

43.奇函數(shù)和偶函數(shù)概念的推廣

（1）對于一個函數(shù)f(x)，若存在一個常數(shù)a使得f(ax)=f(a+x)，則稱f(x)為廣義（I）型偶函數(shù)，又若有兩個不同實數(shù)a和b滿足時，則f(x)為周期函數(shù)T=2（ba）

（2）若 f(ax) = -f(a+x)，則 f(x) 為廣義（I）型奇函數(shù)。若有兩個不同的實數(shù) a 和 b 滿足，則 f(x) 為周期函數(shù)。函數(shù) T = 2(ba)

44.函數(shù)對稱性

（1）如果 f(x) 滿足 f(a+x)+f(bx)=c，則該函數(shù)關(guān)于 (a+b/2, c/2) 中心對稱。

（2）如果 f(x) 滿足 f(a+x)=f(bx)，則該函數(shù)關(guān)于直線 x=a+b/2 軸對稱。

柯西函數(shù)方程：若 f(x) 是連續(xù)的或單調(diào)的

（1）若 f(xy)=f(x)+f(y)(x>0,y>0)，則 f(x)=㏒ax

（2）若 f(xy)=f(x)f(y)(x>0,y>0)，則 f(x)=x2u（u 由初始值給出）

（3）f(x+y)=f(x)f(y) 則 f(x)=a2x

（4）如果 f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy，則 f(x)=ax2+bx（5）如果 f(x+y)+f(xy)=2f( x)，則 f(x)=ax+b。特別地，如果 f(x)+f(y)=f(x+y)，則 f(x)=kx

45.與三角形有關(guān)的定理或結(jié)論初中數(shù)學(xué)平面幾何中最基本的圖形是三角形

①任意三角形投影定理（又稱第一余弦定理）：

△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=ccosA+acosC；c=acosB+bcosA

② 任意三角形的內(nèi)切圓半徑為r=2S/a+b+c（S為面積），外切圓半徑均應(yīng)已知。

③墨涅拉奧斯定理：設(shè)A1、B1、C1分別為△ABC的三邊BC、CA、AB所在直線上的點，則A1、B1、C1共線的充分必要條件為CB1/B1A·BA1/A1C AC1/C1B=1

46. 錯誤點

（1）函數(shù)各種性質(zhì)的綜合應(yīng)用不夠靈活，例如奇偶性和單調(diào)性常被用來解決抽象函數(shù)不等式問題；

(2)三角恒等式變換不清晰，導(dǎo)出公式不快。

（3）忽略三角函數(shù)的有界性和三角形中角的極限。例如，在三角形中，不可能有兩個角同時有負正切。

（4）三角形的平移變換不清晰。解釋：從y=sinx到y(tǒng)=sinwx的步驟是將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/∣w∣倍

（5）對數(shù)列進行求和時，經(jīng)常用到偏移減法，但由于粗心大意，總是計算錯誤。

解決方法：在寫第二步的時候，提出公差，將等比級數(shù)求和放在括號里，最后去掉系數(shù)；

（6）序列中常見的變換公式不清楚，如：an=1/[n(n+2)]的和保留四項

（7）該序列沒有考慮a1是否符合sn-sn-1得到的通式；

（8）序列不是所有實數(shù)的簡單函數(shù)，即在求導(dǎo)的過程中要注意問題是否得到序列的最大值。

（9）向量運算與代數(shù)運算并不完全等價；

（10）計算向量模時，忘記在求平方后取平方根。

比如這種選擇題，經(jīng)常會出現(xiàn)2，√2這個答案，基本上就應(yīng)該選√2，選2的原因是2沒有平方根。

（11）復(fù)數(shù)的幾何意義不明確

47.關(guān)于輔助角公式

asint+bcost=[√(a2+b2)]sin(t+m)其中 tanm=b/a[條件：a>0]

注意：有的同學(xué)習(xí)慣考慮sinm或者cosm來確定m，我個人認為這樣太容易犯錯誤了。

最好的方法是根據(jù) tanm 確定 m。（見上文）。

例如：sinx+√3cosx=2sin(x+m)，

因為tanm=√3，所以m=60度，所以原公式=2sin(x+60度)