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什么是向量？

向量、基和線性相關(guān)的線性組合

矩陣和線性相關(guān)

矩陣乘法與線性變換相結(jié)合

三維空間中的線性變換

行列式

逆矩陣、列空間、秩和零空間

克萊默定律

非方陣

點(diǎn)積和對(duì)偶性

叉積

從線性變換的角度看叉積

基礎(chǔ)變換

特征向量和特征值

抽象向量空間

二階矩陣特征值的快速計(jì)算

張量、協(xié)方差、逆方差和秩

目錄

逆矩陣、列空間、秩和零空間

克萊默定律

逆矩陣、列空間、秩和零空間

之前我們通過(guò)直觀的線性變換理解了矩陣和向量的運(yùn)算，也學(xué)習(xí)了線性變換如何描述對(duì)空間的操控。這對(duì)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和機(jī)器人學(xué)有很大的幫助，但線性代數(shù)的作用并不僅限于此。今天我們從另一個(gè)角度來(lái)看看線性代數(shù)如何幫助我們解決特殊的線性方程。

上面提到的特殊線性方程，所謂“特殊”是指未知量都是一階的，不包含其他特殊函數(shù)，如指數(shù)、對(duì)數(shù)、n 次方、三角函數(shù)等，且未知量乘以系數(shù)后相加。我們把這樣的方程組稱為：多元一階線性方程。

由于我們要用線性代數(shù)來(lái)解線性方程，所以我們需要將上述方程轉(zhuǎn)化為矩陣和向量乘法的形式。我們將系數(shù)提取成系數(shù)矩陣，將未知數(shù)提取成向量形式，將結(jié)果提取成向量形式，最后將它們轉(zhuǎn)化為：

上面的矩陣乘法是不是看起來(lái)很熟悉？這就是前面提到的矩陣向量乘法。它的幾何意義是：向量

在矩陣A的作用下，矢量變換為

為了解決上述方程組，我們需要找到空間中的一個(gè)向量

對(duì)A和向量進(jìn)行線性變換后

重合。

上面的例子是三維空間中的變換，為了更直觀的例子，我們來(lái)看二維空間中的例子：

那么我們?nèi)绾闻袛?/p>

有解決方案嗎？也就是說(shuō)，是否存在一個(gè)向量

經(jīng)過(guò)線性變換后，可以與矢量相結(jié)合

那重疊呢？這就要用到我們前面講過(guò)的行列式的知識(shí)了。在行列式章節(jié)中我們說(shuō)過(guò)，矩陣行列式表示的是變換前后空間的縮放比例。根據(jù)行列式的不同，又可以分為行列式不為零和行列式為零兩種情況。

行列式不為零：

矩陣行列式不為零，說(shuō)明經(jīng)過(guò)線性變換后空間維數(shù)不變，即基向量沒(méi)有被壓縮成一條直線或者一個(gè)點(diǎn)，那么一定有一個(gè)向量

也就是說(shuō)，我們一定能找到一個(gè)能與向量匹配的基向量縮放因子

重疊；如何找到

現(xiàn)在讓我們反過(guò)來(lái)想。我們剛剛找到了向量

在基質(zhì)作用下，

巧合，反過(guò)來(lái)：變換矩陣A的逆矩陣

作用于載體

變換后的向量就是我們需要的向量。

這里我們直觀的看一下逆矩陣的含義，例如逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度的變換如下：

相應(yīng)的逆變換是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度：

對(duì)任何向量應(yīng)用變換，然后應(yīng)用逆變換將使向量返回到其原始狀態(tài)，這意味著兩個(gè)矩陣的乘積是恒等變換。

綜上所述，如果變換矩陣的行列式不為0，那么線性方程組有唯一解，這一點(diǎn)對(duì)于高維空間也適用。

行列式為零：

當(dāng)變換矩陣的行列式為零時(shí)，即變換后基向量落在同一直線或點(diǎn)上。如果這條直線和向量

如果它們不共線，那么我們就找不到矢量

，這可以使x*i_transformed+y*j_transformed與向量v重合，也就是說(shuō)，沒(méi)有逆變換可以將一條線解壓縮成一個(gè)面；但如果這條線與向量重合

共線，即使沒(méi)有逆變換，也可能有解，且解的個(gè)數(shù)是無(wú)窮大。

如上圖，棕紅色和綠色是變換后的基向量，黃色是結(jié)果向量

，同樣適用于三維空間。

注意，現(xiàn)在我們又想到了一個(gè)新名詞：秩。秩表示變換后空間的維數(shù)。前面舉的例子中，如果變換矩陣的行列式為0，說(shuō)明空間被壓縮成了一條直線，因此空間維數(shù)為1，說(shuō)明秩為1；如果變換矩陣的行列式不為零，說(shuō)明空間沒(méi)有被壓縮，原空間是2維的，變換后的空間也是2維的，秩為2，原空間是3維的，變換后的空間也是3維的，秩為3；秩表示變換后空間的維數(shù)，不管變換結(jié)果是直線，平面還是三維空間，所有可能的變換結(jié)果的幾何體就稱為矩陣的列空間。

秩這個(gè)名字是怎么來(lái)的呢？如上圖所示，矩陣的列表示變換后基向量的位置。換句話說(shuō)矩陣行列式的運(yùn)算法則，列空間就是矩陣的列所占的空間，而秩就是列空間的維數(shù)。當(dāng)秩達(dá)到最大值時(shí)，秩就等于列數(shù)。我們把這種情況稱為滿秩。

如下圖所示，線性變換必須保持原點(diǎn)的位置不變，原點(diǎn)就是零向量，當(dāng)秩滿時(shí)，原點(diǎn)是變換后唯一落在原點(diǎn)的向量，當(dāng)秩不滿時(shí)，由于空間被壓縮，部分序列的向量會(huì)被壓縮到原點(diǎn)。

克萊默定律

以前我們從線性代數(shù)的角度去理解線性方程，卻沒(méi)有給出具體的解法。今天我們來(lái)看一個(gè)計(jì)算規(guī)則以及背后的幾何原理：克萊姆規(guī)則。

首先我要聲明克萊姆法則并不是解線性方程最有效的方法，相比之下高斯消元法更快，學(xué)習(xí)克萊姆法則是為了拓展知識(shí)面，加深對(duì)線性方程的理解。

讓我們從一個(gè)簡(jiǎn)單的例子開(kāi)始。請(qǐng)注意，克萊默定律可以擴(kuò)展到任意數(shù)量的未知數(shù)。

通過(guò)前面章節(jié)的學(xué)習(xí)，我們知道上述方程可以轉(zhuǎn)化為矩陣乘法的形式：

矩陣的前兩列表示變換后的基向量的坐標(biāo)：

現(xiàn)在的問(wèn)題是找出哪個(gè)向量將成為

。

一個(gè)想法是輸出矩陣

它是矩陣列向量的線性組合。現(xiàn)在我們需要做的就是找到x和y的值。

在上一章中我們說(shuō)過(guò)，一個(gè)方程組是否有解取決于矩陣行列式的數(shù)值。如果行列式為0，則該方程無(wú)解或有無(wú)數(shù)個(gè)解。如果行列式不為0，則該方程組有唯一解。本文僅討論行列式不為0的情況。

在講克萊默定律之前，我們先來(lái)看一個(gè)錯(cuò)誤的解法思路。我們知道一個(gè)向量可以分解為基向量的線性組合，如下圖所示。在變換之前，我們先計(jì)算未知向量

基礎(chǔ)向量上的分量。

并假設(shè)變換后上述向量分解定律仍然滿足：

理想很完美，但現(xiàn)實(shí)很殘酷。不幸的是，上面的公式可能不成立，因?yàn)樽儞Q后的基向量可能不垂直，或者可能會(huì)被拉伸。例如上圖中的紅色和綠色箭頭就是變換后的基向量。

是不是所有的變換都不滿足上面的公式呢？有一種特殊的變換，它變換后，基向量仍然垂直，長(zhǎng)度不變。更一般地說(shuō)，變換前垂直的向量在變換后仍然垂直。這種變換稱為正交變換。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，它對(duì)應(yīng)于剛體運(yùn)動(dòng)，也就是說(shuō)變換不會(huì)拉伸、壓縮或變形。

因此，如下圖所示，利用正交矩陣來(lái)解決線性關(guān)系問(wèn)題非常方便：

改造前：

由于是正交變換，所以變換之后下面的公式依然成立矩陣行列式的運(yùn)算法則，下面的公式中第一個(gè)是目標(biāo)向量，第二個(gè)是變換之后基向量的位置，都是已知的。

最后結(jié)果：

正交變換雖然是特例，但是卻給我們提供了一種思路，接下來(lái)進(jìn)入今天的正題，如下圖所示，未知向量

和 i 形成的面積等于坐標(biāo) y。

類似地，未知向量

和j形成的面積等于坐標(biāo)x。

類似地，在三維坐標(biāo)系中，立方體的體積可以與 x、y 和 z 坐標(biāo)相關(guān)聯(lián)。

為什么要把平行四邊形的面積和立方體的體積與坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)呢?根據(jù)前面章節(jié)所學(xué)的知識(shí)，當(dāng)對(duì)未知向量進(jìn)行線性變換時(shí)，面積與體積的比值會(huì)發(fā)生變化。

轉(zhuǎn)型前

轉(zhuǎn)型后

根據(jù)我們?cè)谇懊嬲鹿?jié)中學(xué)到的知識(shí)，當(dāng)我們談?wù)摫砻婊蝮w積的變換比率時(shí)，我們立即想到了行列式！面積擴(kuò)展的比率等于變換矩陣的行列式。

變換前平行四邊形的面積等于y值英語(yǔ)作文網(wǎng)，變換后四邊形的面積按照變換矩陣的行列式進(jìn)行縮放，其面積等于

。

轉(zhuǎn)型前

轉(zhuǎn)型后

然后我們可以利用變換后的面積和行列式的值來(lái)找到 y：

那么我們?nèi)绾握业阶儞Q后的面積呢？我們已經(jīng)知道變換后得到的向量的坐標(biāo)

，那么它和i構(gòu)成的四邊形的面積可以用矩陣計(jì)算

該矩陣的行列式表達(dá)式表示

變換矩陣，其行列式值表示變換前后面積變化的比率。

用同樣的方法我們可以找到另一個(gè)變量x的值：

對(duì)于三維來(lái)說(shuō)也是如此：