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拋物線y=ax²+bx+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x=1．且A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-1，0），C（0，-3）．

（1）求拋物線y=ax²+bx+c的解析式；

（2）在對(duì)稱軸上是否存在一個(gè)點(diǎn)P，使△PAC的周長(zhǎng)最小？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

試題答案

解：（1）∵A、B兩點(diǎn)關(guān)于x=1對(duì)稱，且A（-1，0），

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），

根據(jù)題意得：

解得a=1，b=-2，c=-3．

∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3；

（2）存在一個(gè)點(diǎn)P，使△PAC的周長(zhǎng)最小．

A點(diǎn)關(guān)于x=1對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b

∴

∴k=1，b=-3，

即BC的解析式為y=x-3．

當(dāng)x=1時(shí)，y=-2，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2）．

試題解析

（1）根據(jù)對(duì)稱軸和A點(diǎn)的坐標(biāo)求得B點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；

（2）利用點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，求得線段BC所在直線的解析式后再求出此直線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)綜合知識(shí)，函數(shù)綜合題是初中數(shù)學(xué)中覆蓋面最廣、綜合性最強(qiáng)的題型．近幾年的中考?jí)狠S題多以函數(shù)綜合題的形式出現(xiàn)．解決函數(shù)綜合題的過(guò)程就是轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、方程思想的應(yīng)用過(guò)程．